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2021,6564のように,連続する2つの2けたの整数を並べてできた,4けたの整数を考えます。
(1)このような整数は,全部で何個ありますか。
(2)このような整数すべての平均を求めなさい。
(3)このような4けたの整数のうち,47の倍数をすべて求めなさい。
(1)4けたの数をbcdとすると,2けたの数cdがbより1大きい場合は,
1011,1112,1213,…,9798,9899…ア
の,98−10+1=89(個)
2けたの数cdがbより1小さい場合は,
1110,1211,1312,…,9897,9998…イ
の,99−11+1=89(個)
よって答えは,89×2=178(個)
➡注 アの下2けたと上2けたを入れ替えたものがイに並んでいます。個数は当然同じです。
(2)アもイも,公差が101の等差数列です。
アの89個の数の平均は,
(1011+9899)÷2=5455
イの89個の数の平均は,
(1110+9998)÷2=5554
よって,178個の数の平均は,
(5455+5554)÷2=5504.5
➡注 アの最初の数とイの最後の数の平均を求めてもよいでしょう。
つまり,(1011+9998)÷2=5504.5
(3)アには「101の倍数に1を加えた数」が並んでいます。
この中には2021(=101×20+1)も含まれますが,2021は47の倍数(47×43)なので,2021は答えの1つ(OK)です。
101と47は互いに素なので、条件に当てはまる数は,(101×47=)4747ごとに現れます。
よって,2021+4747=6768もOKです。
次に,イには「101の倍数から1を引いた数」が並んでいます。
初めの1110を47で割った余りは29です。
101を47で割った余りは7なので,(1110に101を次々に加えた,)
1211を47で割った余りは29+7=36,
1312を47で割った余りは36+7=43,
1413を47で割った余りは43+7−47=3,
…のように計算できます。
このようにして,イに並ぶ数を47で割った余りを書き並べると,
29,36,43,3,10,17,24,31,38,45,5,12,19,26,33,40,0,…
となり,1110から数えて17個目の数が47で割り切れます。
よって,
1110+101×(17−1)=2726,
2726+4747=7473
もOKです。
以上により,答えは,
2021,2726,6768,7473
中学への算数
東京出版刊行
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●編集方針●
最近の中学入試では、型にこだわらない新傾向問題が増えています。 これらは、ためしたり、かぞえたり、整理したり、場合を分けたり、 規則性を発見したり、グラフを書いたり、図形を動かしたり、 立体をいろいろとりあつかったり、というように、 単なる反復練習では解くことのできない、 数学的な発想力や思考力を要求される問題です。 それに応える力を育てることが本誌の最大の目標です。同時に、受験を離れたところでも、算数のおもしろさ、 楽しさを伝えていきます。
論理的思考による問題解決能力が不可欠な現代社会においては希望進路にかかわらず、数学を学ぶ必要があります。そこで、どの生徒も無理なく学習を進められるように、複数学年でクラスを分割する少人数授業を実施し、また、小テストを進度に合わせて適宜(高2の演習授業では毎回)行い各自の理解度を確かめるなどの工夫をしています。