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地面に対してまっすぐに立っている街灯があります。街灯が地面を照らす範囲は，街灯の根元Ｏを中心とする円であり，その円の半径は，街灯の高さに比例します。
また，街灯の太さは考えないものとします。
次の各問いに答えなさい。
（1） 高さ4.5mの街灯と高さ3mの街灯の，地面を照らす範囲の面積の差は62.8m2です。高さ3mの街灯が，地面を照らす範囲の面積は何m2ですか。
（2） 身長1.2mのT君が，高さ3mの街灯の近くに，地面に対してまっすぐに立ちます。T君の影が最も長くなるとき，T君の立っている位置から街灯の根元Ｏまでの距離は何mですか。
（3） 右の図のように，高さ3mの街灯と高さ1.5mの長方形の塀を，地面に対してまっすぐに立てたところ，塀の影ができました。
OA＝OB＝2m，∠AOB＝30°であるとき，街灯が地面を照らす範囲の面積は何m2ですか。
ただし，塀の厚さは考えないものとします。
（1） 2種類の街灯の高さの比は4.5：3＝3：2なので，街灯の照らす範囲の相似比も3：2で，面積比は9：4です。そこで高さ4.5mと3mの街灯が地面を照らす範囲の面積をそれぞれ⑨m2，④m2とおくと，
⑨－④＝62.8（m2）
④＝62.8×$\dfrac{\text{4}}{\text{9－4}}$＝20×3.14×$\dfrac{\text{4}}{\text{5}}$
＝16×3.14＝50.24（m2）
16＝4×4なので，高さ3mの街灯が地面を照らす範囲は，半径4mの円になります。
（2） 「街灯の照らす範囲」の制限が無ければ，T君がOから離れるほど影も長くなります。しかし，本問の設定の下では，T君がOから離れていき影の先端とOの距離が4mになると影の一部が街灯の照らす範囲からはみ出てしまい，短くなっていきます。よって，距離を求めたいのは右図のようなときです。
網目の三角形同士は相似で相似比は
1.2：（3－1.2）＝2：3なので，答えは$4×\dfrac{\text{3}}{\text{2＋3}}$＝2.4（m）
（3） 塀のA，B以外の頂点をC，Dとします（BとCが隣接）。C，Dの影の位置をC′，D′とすると，右図の網目と太線の三角形の相似比は
1.5：3＝1：2
なので，OD′＝2×2＝4（m）
同様にOC′も4mで，塀の影は台形ABC′D′です（街灯の照らす半径4mの円の中に全体が含まれます）。求める範囲は右のような，塀が無いときに街灯が地面を照らす範囲から台形ABC′D′を除いた部分です。
三角形OABはOA＝OB＝2m，∠AOB＝30°なので，OAを底辺と考えると高さは2÷2＝1（m）です。よって，三角形OABの面積は
2×1÷2＝1（m2）
三角形OABとOD′C′は相似でやはり相似比が1：2なので，面積比は1：4で，台形ABC′D′は
$1×\dfrac{\text{4－1}}{\text{1}}$＝3（m2）
よって，答えは50.24－3＝47.24（m2）
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