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次の各問いに答えなさい。円周率は3.14とします。
（1）①図1のように，OA=6cmの円すいを平面上ですべらないように転がしたところ，ちょうど6回転して元の位置にもどりました。この円すいの表面積は何cm2ですか。
②図2のように，点Aから①の円すいの側面を最も短い道のりで1周して点Aにもどる線の長さは何cmですか。
（2）図3は，底面の半径が2.5cmの円すいです。点Aから円すいの側面を最も短い道のりで1周して点Aにもどる線で，側面を2つの部分に分けます。
点Oを含む網目部分の面積は何cm2ですか。
下図のように，円すいの母線をR，底面の半径をr，側面のおうぎ形の中心角をaとします．
展開図で，おうぎ形の弧の長さと，底面の円周が等しいことから，
$2×R×3.14×\dfrac{a}{360}=2×r×3.14\\\rightarrow~~\dfrac{a}{360}=\dfrac{r}{R}\cdots\cdots\cdots☆$
また，おうぎ形の面積は，☆より，
$R×R×3.14×\dfrac{a}{360}$$=R×R×3.14×\dfrac{r}{R}$$=R×r×3.14$
[解説]（1）① 6回転して1周するということは，側面のおうぎ形の中心角が60°であるということです．
☆より，$\dfrac{60}{360}=\dfrac{r}{6}$となるので，底面の半径 r は 1cm です．表面積は，
1×1×3.14＋1×6×3.14＝21.98（cm2）
② 立体の表面を通る最短の道のりは，展開図では直線になります．
中心角が60°なので，側面を OA で開くと，右図のように，三角形 OAA′ は正三角形になります．よって，線の長さ AA′ は 6cm．
（2） ☆より，$\dfrac{a}{360}=\dfrac{2.5}{6}\left(=\dfrac{5}{12}\right)$から，
$a=\dfrac{5}{12}×360=150$
円すいを OA で開いたときの展開図は右図のようになります.
A′ から OA の延長に垂線 A′B を引くと，角 A′OB は 30° なので，三角形 OA′B は正三角形の半分になります．
A′B=A′O÷2=3(cm)
より，網目部分の面積は，
6×3÷2=9(cm2)
中学への算数
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●編集方針●
最近の中学入試では、型にこだわらない新傾向問題が増えています。 これらは、ためしたり、かぞえたり、整理したり、場合を分けたり、 規則性を発見したり、グラフを書いたり、図形を動かしたり、 立体をいろいろとりあつかったり、というように、 単なる反復練習では解くことのできない、 数学的な発想力や思考力を要求される問題です。 それに応える力を育てることが本誌の最大の目標です。同時に、受験を離れたところでも、算数のおもしろさ、 楽しさを伝えていきます。
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高校過程では習熟度別授業やコース分けが導入されているので、問題を解ける喜びや数学の楽しさを味わえる環境が整っています。授業ではただ板書をノートに写すのではなく、自分で考えて正解を導く努力をしてください。そうすれば大学生や社会人になった時、数学を手段として抵抗なく用いることができるようになり、更には数学そのものの魅力に気づくはずです。