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リベラルでフェアな精神をもった
「新しい紳士」を育てる
海城
中学高等学校
問題 一般① 6
図のような立方体において , 辺BC , CDのまん中の点をそれぞれM , Nとします。
また , AMとBN が交わる点をPとします。
このとき , 三角形PBMの面積は $7\dfrac{1}{5}$cm 2となりました。
（１）立方体の1辺の長さを求めなさい。
（２）3点A , F , Mを通る平面と , 3点B , G , N を通る 平面でこの立方体を切断するとき , 点Hを含む立体の 体積を求めなさい。
解法のポイント
立方体を2回切る問題です。共通部分を正しくとらえ, 体積を求めましょう。
解答・解説
（１）BNの延長とADの延長の交点をQとします。
三角形BCNとQDNは合同であることに着目すると ,
AP：PM＝AQ：BM＝
AD$×$2：BC$÷$2＝4：1
よって , 三角形ABMの面積は ,
$7\dfrac{1}{5}$$×$（4＋1）＝36（cm 2）
三角形ABMの面積は ,
AB$×$（AB$÷$2）$÷$2＝AB$×$AB$÷$4
で求められ , これが36cm 2なので ,
AB$×$AB＝36$×$4＝6$×$6$×$2$×$2
＝12$×$12（cm 2）
とわかります。よって答えは 12cmです。
（２）A, F, Mを通る平面で切断すると三角すいＭ-ABFが, B, G, Nを通る平面で切断すると三角すいN-BCGがそれぞれ立方体から切り取られます。この2つの三角すいの共通部分は, 右図の
網目の三角すいP-BMRです。
この網目部分の三角すいの体積は, 三角形PSRを底面とし, 高さがBM＝6cmの三角すいの体積として求められます。
AP：PM＝4：1より,
PS＝12$÷$5＝2.4（cm）
BM：FG＝1：2より,
SR＝12$÷$3＝4（cm）
よって, 網目部分の三角すいの体積は,
2.4$×$4$÷$2$×$6$×$$\dfrac{1}{3}$＝9.6（cm3）
すると, 立方体から切り取られる立体の体積は,
6$×$12$÷$2$×$12$×$$\dfrac{1}{3}$$×$2－9.6＝278.4（cm3）
とわかるので, 答えは,
12$×$12$×$12－278.4＝1449.6（cm3）
「きちんと青春」で, 生き抜く力を
国学院大学久我山
中学高等学校
問題 ST第1回 【3】
一方の面は白色, もう一方の面は赤色の100枚のカードがあります。これらのカード
には, 1から100までの数字が, 1つずつ両面にかかれています。ただし, 両面には
同じ数字がかかれているものとします。また, 次のような100通りの操作があります。
＜操作1＞ 1の倍数がかかれているカードをすべてひっくり返す
＜操作2＞ 2の倍数がかかれているカードをすべてひっくり返す
＜操作3＞ 3の倍数がかかれているカードをすべてひっくり返す
・
・
・
＜操作99＞ 99の倍数がかかれているカードをすべてひっ くり返す
＜操作100＞ 100の倍数がかかれているカードをすべてひっくり返す
すべてのカードを白色の面を上にしておき, 操作を始めます。次の問いに答えな
さい。
（１）＜操作18＞だけを行なったとき, 赤色の面が上になるカードは何枚ありま
すか。
（２）＜操作1＞から＜操作100＞まで順にすべての操作を行なったとき, 20と
かかれているカードは何回ひっくり返されましたか。
（３）＜操作1＞から＜操作100＞まで順にすべての操作を行なったとき, 1 から
20までのカードの中でひっくり返される回数が2回であるカードは何枚ありますか。
（４）＜操作2＞と＜操作3＞だけを順に行なったあと, 赤色の面が上になるカード
は何枚ありますか。
（５）＜操作1＞から＜操作100＞まで順にすべての操作を行なったあと, 赤色の
面が上になっているカードは何枚ありますか。
解法のポイント
約数の個数に結びつけて考える問題で, さまざまな中学校で類題が出題されています。
解答・解説
（１）100$÷$18＝5余り10
より, 答えは, 5枚です。
（２）20の約数の個数だけひっくり返されます。20の約数は,
1, 2, 4, 5, 10, 20
の6個なので, 答えは, 6回です。
（３）ひっくり返される回数が2回であるのは, 約数の個数が2個である整数, つまり, 素数です。
20以下の素数を書き出すと,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
の8個なので, 答えは, 8枚です。
（４）2と3の最小公倍数は6なので, 1～6の6枚について, ＜操作2＞と＜操作3＞を順に行うと, 2, 3, 4の3枚が赤の面が上になることがわかります。7～12, 13～18, ・・・についても
同様なので,
100$÷$6＝16余り4
余りの4つの中に98, 99, 100の3枚あるので, 答えは, 3$×$17＝51（枚）
（５）赤の面が上になっているのは, 奇数回ひっくり返されたカードです。それは, 約数の個数が奇数であるカードです。
約数の個数が奇数であるのは, 平方数なので, 答えは,
1$×$1, 2$×$2, 3$×$3 ・・・, 9$×$9, 10$×$10
の10枚です。
自主独立の気概と科学的精神で
次代のリーダーとなれ
駒場東邦
中学校・高等学校
問題 3
 を1以上2018以下の整数とします。1つの に対して
と表すことにします。ただし , 6△1＝6 , 7△1＝7とします。
次の問いに答えなさい。ただし , 一けたの数の十の位の数字は0とします。
（１） が1以上10以下のとき , 7△ の十の位の数をそれぞれ求めなさい。
（２）7△2018の十の位の数を求めなさい。
（３）6△2018の十の位の数を求めなさい。
（４）（6△ ）＋（7△ ）の十の位が1となる の選び方は何通りあるか求めなさい。
解法のポイント
余りの周期性に関する規則性の問題です。周期がやや長いですが, ていねいに書き出しましょう。
解答・解説
（１）7△ の下2けたの 値を表にまとめます。
太字の十の位の数が答えとなります。
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| 7△ |
07 |
49 |
43 |
01 |
07 |
49 |
43 |
01 |
07 |
49 |
（２）（１）の表より , 7△ の下2けたの値は , 「07 , 49 , 43 , 01」の4個1組の周期となっています。よって求める数は , 2018$÷$4＝504・・・2
より , 2番目の49の十の位の4です。
（３）６△ の下2けたの値を表にまとめます。
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
| 6△ |
06 |
36 |
16 |
96 |
76 |
56 |
36 |
16 |
96 |
76 |
56 |
上の表のように , 6△ の下2けたの値は , ＝1の「06」をのぞくと , 「36 , 16 , 96 , 76 , 56」 の5個1組の周期となっています。よって , 求める数は ,（2018－1）$÷$5＝403・・・2
より , 2番目の16の十の位の 1です。
（４）（１）～（３）より , 7△ の下2けたの値は4個周期 , 6△ の下2けたの値は ＝1の1個をのぞいて5個周期なので , （6△ ）＋（7△ ）の下2けたの値は , ＝1の1個をのぞくと , 4個と5個の最小公倍数である20個周期になることがわかります。
＝1のとき , （6△ ）＋（7△ ）の下2けたの値は , 07＋06＝13より , 十の位は1です。
が2以上のとき , （6△ ）＋（7△ ）の下2けたの値を表にまとめます。
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2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
| 6△ |
36 |
16 |
96 |
76 |
56 |
36 |
16 |
96 |
76 |
56 |
| 7△ |
49 |
43 |
01 |
07 |
49 |
43 |
01 |
07 |
49 |
43 |
| 和 |
85 |
59 |
97 |
83 |
05 |
79 |
17 |
03 |
25 |
99 |
|
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
| 6△ |
36 |
16 |
96 |
76 |
56 |
36 |
16 |
96 |
76 |
56 |
| 7△ |
01 |
07 |
49 |
43 |
01 |
07 |
49 |
43 |
01 |
07 |
| 和 |
37 |
23 |
45 |
19 |
57 |
43 |
65 |
39 |
77 |
63 |
上の表より , 20個周期の中に十の位が1となるものが2個あります。
（2018－1）$÷$20＝100・・・17より , 表の17個目の ＝18までで十の位が1となるものを数えると2個あります。よって , の選び方は , ＝1のときも加えて , 1＋2$×$100＋2＝ 203（通り）
‐高く・大きく・豊かに・深く‐
高輪
中学校・高等学校
問題 B日程 5
次の各問いに答えなさい。
（１）図1の四角形の面積は何cm 2ですか。
（２）図2は1辺が4cmの正方形に , 各頂点を中心とした半径4cmの円の一部と , 直線を書き加えたものです。 網目部分の面積は何cm 2ですか。
（３）図3は1辺が4cmの正方形ABCDに , 各頂点を中心とした半径4cmの円と , 直線を書き加えたものです。
網目部分の面積の和は何cm 2ですか。
解法のポイント
「こんな面積, 算数で求まるの？」と思うかもしれません。誘導がうまく作られていますので, ぜひその流れに乗りましょう。
解答・解説
（１）4$×$6$÷$2＝12（cm2）
（２）網目部分の四角形の対角線はどちらも4cmで直交します。（１）と同様に
4$×$4$÷$2＝8（cm2）
→注 右のような, 2辺が4cmで, 長さの等しい辺に挟まれる角が30°の,
 二等辺三角形2つ分と考えても解けます。網目部分の直角三角形が正三角形をちょうど半分にした形であることから, 4cmの辺を底辺と思ったときの高さは4cmの半分で2cmです。よって,
4$×$2$÷$2$×$2＝8（cm2）
（３）右図のように, 中央の正方形を対角線で四等分します。この直角二等辺三角形OPQと外側の1辺4cmの正三角形の面積の和が, 求める面積の$\dfrac{1}{4}$になります。
PQとBOが平行なので, 三角形OPQとBPQの面積は等しいです。1辺が4cmの正三角形BCQと三角形BPQを合わせると, 四角形BCQPができます。この面積は（２）より8cm2なので, 答えは
8$×$4＝32（cm2）
問題 第3回 6
1200m 離れたA地点とB地点の間にまっすぐな道路があり , 太郎君はA地点から自転車でB地点に行き , B地点で1分間休けいした後再び自転車でA地点に 戻ります。次郎君は太郎君と同時にB地点を出発し , A地点までジョギングで行きます。下のグラフは2人が動く様子を表し , 横は出発してからの時間 , 縦はA地点からの 距離です。2人とも一定の速さで進むものとして , 次の問いに答えなさい。
（１）太郎君の自転車の速さは毎分何mですか。
（２）次郎君のジョギングの速さは毎分何mですか。
（３）太郎君が , B地点からA地点に戻る 途中で次郎君を追い 抜くのは , 2人が出発してから 何分何秒後ですか。
（４）太郎君のB地点での休けい時間だけを変えて , 2人が同時にA地点に 到着するようにし ます。太郎君の休けい時間を何分何秒にすればよいですか。
解法のポイント
グラフの読み取りをからめた速さの問題です。比をうまく使って考えましょう。
解答・解説
（１）太郎は3分20秒で1200m進んだので,
$1200÷3\dfrac{20}{60}$＝360（m/分）
（２）1200mの道のりを進むのにかかる時間が, 太郎のみだと3分20秒, 太郎と次郎の2人だと2分30秒です。
3分20秒：2分30秒=200秒：150秒＝4：3
なので, 速さの比は, その逆比で
太郎：（太郎＋次郎）＝3：4
です。よって, 速さの比は
太郎：次郎=3：（4－3）＝3：1
なので, 次郎の速さは
$360×\dfrac{1}{3}$＝120（m/分）
（３）B地点から追い抜く地点まで進むのにかかる時間の比は, 速さの逆比で
太郎：次郎＝1：3
です。太郎が休けいを終えるのが出発してから4分20秒後なので,
$4分20秒×\dfrac{3}{3-1}$＝6分30秒
より, 6分30秒後です。
（４）次郎がA地点に到着するのは, 出発してから
1200$÷$120＝10（分後）
です。太郎が往復分の道のりを進むのにかかる時間は
3分20秒$×$2＝6分40秒
なので,
10分－6分40秒＝3分20秒
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出来た問題についてはそれだけで満足せず, できなかった友達が「なるほど」と納得する説明を君ができるかどうかを自問自答してください。
出来ない問題があっても嘆きは無用です。中学入試の算数の出題の背景には, 多くの先人たちの英知が結集しているのです。「なるほど, それならできないこともあるな」とリラックスして, 先人に敬意を表しつつ“名画を鑑賞”する気分で, その筆遣いを少しでも取り入れられるかを楽しみながら検討することが君の財産となるでしょう。
海城は“好奇心と粘り”をもった皆さんに応える数学を展開します。君の入学を待っています。