（３）4つの立体に分かれますが，体積が1か所求まれば，残りも求まります。どこが求めやすいかな・・・と考えてみると，(1)がヒントだとわかります。
[解説](1)
面ABCDを取り出すと，右図のようになります。
　DI＝4cm，
　MJ=1cm
なので， 網目（あみめ） の三角形どうしの相対比は4：1です。求める面積は，
　
（２）面ABFEを底面とした高さ4cmの直方体を2等分した形です。よって，
　6×6×4÷2＝72（cm³）

（３）2つの平面による切り口は右図のようになります。これらの平面は上面の点Pと下面の点Qで交わっているので，直線PQが交わりの線（交線）です。
　さて，太線の三角すい台PMJ−QFKに注目しましょう。QP，FM，KJの延長の交点をRとすると，MJ:FK＝1：2より，Rの面ABCDからの高さは6cmです。よって，
　[R-PMJ]＝0.6×6÷3＝1.2（cm³），
　[PMJ-QFK]＝1.2×（2×2×2−1）
　　　　　　＝8.4(cm³)
となり，求める体積は，
　72−8.4＝63.6(cm³)

（ 1 ）長針は毎分6度，短針は毎分0.5度の速さで動きます。


（ 2 ）時計Tの長針と短針は，20分間で合計180−90=90（度）動きました。長針が
1分間に動く角度は，
　90÷20−0.5=4（度）

（ 3 ）短針は常に同じ位置にあるので，「同針」となるのは，長針が同じ位置にあると きです。それは
　360÷(6+4)=36（分）
おきに起こるので，3 時ちょうどの次は3時36分です。

（ 4 ）時計T の長針が2周半するのにかかる時間は
　360×2.5÷4=225（分）
です。
　225÷36=6あまり9
なので，答えは6回です。

（ 5 ）時計Tの短針がこわれた後も，長針の速さは変わりませんから，長針は36分おきに重なります。
　また，こわれた後の時計Tの短針は，時計Sの短針と逆向きに

の速さで動きます。よって，短針は

おきに重なります。
　36と432の最小公倍数は432なので，432分後，つまり7時間12分後です。

（２）までは落とせません。（３）で勝負です。
[解説]　435＝3×5×29……………………(★)


（２）★より，既約分数の分子は，3でも5でも29でも割り切れない数 (…☆) です。
　そこで，1から★までの整数で，
　　3の倍数，5の倍数，29の倍数
　　3，5，29のうちの2数の公倍数である
　　3×5の倍数，3×29の倍数，5×29の倍数
　　3数の公倍数である3×5×29の倍数
の個数 (★÷3，★÷5，…などの，割り算の商です) を調べると，順に，
　　145個，87個，15個
　　29個，5個，3個
　　1個

となるので，これをベン図に表すと，右のようになります。
求めるものは，図の網目（あみめ）部分に入る数の個数ですから，答えは，
　435−(145＋56＋8＋2)＝224 (個)
　　 ⇒注　少し高度ですが，本問には背景（はいけい）があります。
　1から435までの整数を，
　　3で割った余りをa (a＝0，1，2)，
　　5で割った余りをb (b＝0，1，2，3，4)，
　　29で割った余りをc (c＝0，1，2，…，28)
　とすると，異なるa，b，cの組は，
　3×5×29＝435 (通り) 考えられますが，これらの1つ1つが435個の整数のそれぞれに
　1対1に対応します。
　　かりに，等しい組が対応する2数m，n (m＞n)が存在するとすれば，435より小さい
　m−nが435で割り切れることになり，矛盾（むじゅん）するからです。
　以上から，☆の個数は，0と異なるa，b，cの組の数で，2×4×28＝224 (個)

（３）1から15までの数が，3で割れる (○)か割れない (×) か，5で割れるか割れないかを調べると，下表のようになり，以後，この○，×の分布は繰（く）り返されます。

　29を考えない時点では，網目部分が既約分数ではない分数の分子です。
　さて，この○，×の分布の連続の中に，29で割れるか割れないかの○，×の帯
を重ねると，○のつく数，つまり29の倍数が，表の太線枠（わく）にきたとき，左右の網目部分と合わせて4つ，網目が続くことになります。
これが，網目部分が最も長く続く場合です。
　太線枠には，4を引くか足すと15の倍数となる数が入りますから，29の倍数の中からそのような数を探すと，116と319が見つかります。 よって答えは，

（１）1番目→ 2番目 … 4個
　　　2番目→ 3番目 … 7個
　　　3番目→ 4番目 … 10個
となり，3個ずつ増えていきます。これは，3つの辺に並べるご石の個数が1個ずつ増えていくからです。
　6番目 → 7 番目は，
　　4 + 3× (6−1) = 19(個)
（２）白のご石は，3番目の形から，3つの辺に 1個ずつ，2個ずつ，…並びます。13番目の形では，全部で
　（1+2+ … + 11）× 3
＝（1+11）× 11÷ 2 × 3 …… ◎
＝ 198(個)
黒のご石は，1番目の形に1個あり，それ以後は4個ずつ増えていきます。
4つの頂点に1個ずつ置くからですね。13番目の形では，
　　1+4× (13−1) = 49(個)
（３）白のご石の個数570を◎のように
　（1+□）×□÷2×3
の形に表すと，
　570÷3×2=190×2=19×20
より，□ = 19 となります。よって，
　19+2 = 21(番目)
の図形です。
また，黒のご石は，
　1+4×(21−1) = 81(個)

（１）2人が出会う地点をCとします。出会うまでの兄と弟の速さの比は
　20 : 4 = 5 : 1
ですから，これが AC : CB です。

2人が同時に目的地に到着するとき，速さを変えたあとの弟と兄の速さの比も 5:1 です。よって，
　4.8×5 = 24(km/時)
（２）弟と兄がCから目的地まで進む（実際の）時間は，CからAまで時速18km，24kmで進むのにかかる時間とそれぞれ等しくなります。これらの比は，速さの逆比を考えて
　24 : 18 = 4 : 3
です。この差が 5 分なので，弟が C から A まで進むのに
　
かかりました。
　
　
とわかり，求める時間は
　1.2÷ 4 × 60 + 20 = 38(分)