aとbは互いに素なので、c=a×bです。
したがって、c×9＝a×b×9=a×(b×9)
となるので、1からc×9までのc×9個の整数の中に、aの倍数はb×9個あり、b×10個はありません。すると、165がb×9以上b×10未満とわかるので、bは、165÷10=16.5より大きく、165÷9＝18.3…以下、であることがわかります。
よって、bは17または18です。

（1）と同じように考えて、1からc×9までのc×9個の整数の中に、bの倍数は9個あって、10個はありません。したがって、
126は9×a以上10×a未満であることがわかります。すると、
126÷10＝12.6より大きく、126÷9＝14以下より、aは13または14です。
aとbは互いに素なので、a、bの組としては
（a、b)=(13、17）、（13、18）、（14、17）の3つが考えられます。このとき、nの範囲は、
a=13のとき、13×165＝2145以上、13×166＝2158未満
b=17のとき、17×126＝2142以上、17×127＝2159未満
a=14のとき、14×165＝2130以上
b=18のとき、18×126＝2268以上
となるので、答えは、a=13、b=17
nの最も小さい値は2145、nの最も大きい値は2157です。