まず、互いに素とはどういうことか考えてみましょう。
互いに素というのは、1以外に公約数を持たないということなので、例えば、3と7、5と8、9と16、14と15、といった例が考えられます。
それでは、次に、互いに素の数の最小公倍数について考えてみましょう。
上の例の数の最小公倍数について考えると、3と7の最小公倍数は21、5と8の最小公倍数は40、9と16の最小公倍数は144、14と15の最小公倍数は210、と1以外の公約数がないために最小公倍数はそれぞれの数をかけたものになることが分かりますね。
なので、ｃ＝a×bとなります。
したがって、c×9＝a×b×9=a×(b×9)
となるので、1からc×9までのc×9個の整数の中に、aの倍数はb×9個あり、b×10個はありません。すると、165がb×9以上b×10未満とわかるので、bは、165÷10=16.5より大きく、165÷9＝18.3…以下、であることがわかります。
よって、bは17または18です。

（1）と同じように考えて、1からc×9までのc×9個の整数の中に、bの倍数は9個あって、10個はありません。したがって、
126は9×a以上10×a未満であることがわかります。すると、
126÷10＝12.6より大きく、126÷9＝14以下より、aは13または14です。
よって、（1）とこのことから、a,bの組み合わせとして、（13，17）（13，18）（14，17）（14，18）が考えられますが、aとbは互いに素なので、（14，18）は2を最大公約数に持ち、ダメです。
また、ｎの範囲について考えると、ｎ個の整数の中にaの倍数は165個、bの倍数は126個あるので、
a＝13のとき、ｎは13×165＝2145以上、13×166＝2158未満
a＝14のとき、ｎは14×165＝2310以上、14×166＝2324未満
ｂ＝17のとき、ｎは17×126＝2142以上、17×127＝2159未満
ｂ＝18のとき、ｎは18×126＝2268以上、18×127＝2286未満
となります。
このことをまとめると、
（13，17）のとき、ｎは2145以上、2158未満となり、
（13，18）のときは、ｎの値がないので、ダメとなり、
（14，17）のときも、ｎの値がないので、ダメとなります。
よって、答えはa＝13、b＝17
ｎの最も小さい値は2145、ｎの最も大きな値は2157となります。