いきなり解くのは難しいので、まずは、1ｇと5ｇの2種類のおもりしかない場合について、考えましょう。
軽い順に、 1ｇ・・・1ｇのおもり1個、5ｇのおもりなし
2ｇ・・・1ｇのおもり2個、5ｇのおもりなし
3ｇ・・・1ｇのおもり3個、5ｇのおもりなし
5ｇ・・・1ｇのおもりなし、5ｇのおもり1個
6ｇ・・・1ｇのおもり1個、5ｇのおもり1個
7ｇ・・・1ｇのおもり2個、5ｇのおもり1個
8ｇ・・・1ｇのおもり3個、5ｇのおもり1個
10ｇ・・・1ｇのおもりなし、5ｇのおもり2個
11ｇ・・・1ｇのおもり1個、5ｇのおもり2個
12ｇ・・・1ｇのおもり2個、5ｇのおもり2個
13ｇ・・・1ｇのおもり3個、5ｇのおもり2個
15ｇ・・・1ｇのおもりなし、5ｇのおもり3個
16ｇ・・・1ｇのおもり1個、5ｇのおもり3個
17ｇ・・・1ｇのおもり2個、5ｇのおもり3個
18ｇ・・・1ｇのおもり3個、5ｇのおもり3個
となります。
よって、1ｇのおもりと5ｇのおもりとではかれる重さは、
1ｇ、2ｇ、3ｇ、5ｇ、6ｇ、7ｇ、8ｇ、10ｇ、11ｇ、12ｇ、13ｇ、15ｇ、16ｇ、17ｇ、18ｇの15種類です。
このことをよく考えてみましょう。
1ｇのおもりが、なし、1個、2個、3個の4パターン、5ｇのおもりが、なし、1個、2個、3個の4パターンの組み合わせです。
ただし、1ｇのおもりも5ｇのおもりものせない場合は重さをはかれないので、ダメです。
よって、4×4‐1＝15通りとなります。
では、この考え方をもとにして、問題について考えてみましょう。
1ｇ、5ｇ、25ｇ、125ｇ、625ｇのどのおもりも、1個ものせない、1個のせる、2個のせる、3個のせるの4パターンあります。
また、どのおもりも1個ものせない場合は重さがはかれないので、ダメです。
よって、4×4×4×4×4-1＝1023通りとなります。

125ｇは125ｇのおもりを1個のせればはかれます。
では、124ｇ以下について考えましょう。
124ｇのおもさをはかるときは、1ｇ、5ｇ、25ｇの3種類のおもりを使うときです。
1ｇ、5ｇ、25ｇのおもりを使ってはかれる重さは（1）と同じように考えて、
4×4×4‐1＝63通りです。
よって、125ｇ以下ではかれない重さは125‐1‐63＝61通りです。

（1）をよく見てみましょう。
1ｇのおもりしか使わない場合は5ｇのおもりを使う場合よりもかならず軽いおもさになります。
同じように1ｇと5ｇのおもりしか使わない場合は25ｇのおもりを使う場合よりかならず軽いおもさになります。
同様に、1ｇと5ｇと25ｇのおもりしか使わない場合は125ｇのおもりを使う場合よりかならず軽いおもさに、1ｇと5ｇと25ｇと125ｇのおもりしか使わない場合は625ｇのおもりを使う場合よりかならず軽いおもさになります。
1ｇと5ｇと25ｇを使ってはかれる重さは4×4×4-1＝63通りです。
よって、1ｇと5ｇと25ｇのおもりを全て使ってはかれるおもさ、1×3＋5×3＋25×3＝93ｇは63番目に軽い重さです。
125ｇのおもりを1個使って、1ｇと5ｇと25ｇ使ってはかれるおもさは4×4×4＝64通りです。
つまり、125×1＋1×3＋5×3＋25×3＝218ｇは63＋64＝127番目に軽いおもさです。
よって、100番目に軽いおもさは93ｇよりも重くて218ｇよりも軽いおもさです。
なので、ここより先は625ｇのおもりを使わずに考えます。
ここで、125ｇのおもりを1個使って、25ｇのおもりを使わずにはかれるおもさは4×4＝16通りです。
さらに、125ｇのおもりを1個、25ｇのおもりを1個使ってはかれるおもさも4×4＝16通りです。
よって、125×1＋25×1＋1×3＋5×3＋＝168ｇは63＋16＋16＝95番目に軽いおもさです。
よって、125ｇを1個、25ｇを2個、5ｇを0個、1ｇを0個使ったおもさは96番目に軽いおもさです。
125ｇを1個、25ｇを2個、5ｇを0個、1ｇを1個使ったおもさは97番目に軽いおもさです。
125ｇを1個、25ｇを2個、5ｇを0個、1ｇを2個使ったおもさは98番目に軽いおもさです。
125ｇを1個、25ｇを2個、5ｇを0個、1ｇを3個使ったおもさは99番目に軽いおもさです。
125ｇを1個、25ｇを2個、5ｇを1個、1ｇを0個使ったおもさは100番目に軽いおもさです。
よって、求めるおもさは、125×1＋25×2＋5×1＝180ｇです。

2006ｇはかなりのおもさなので、625ｇのおもりを3個使っているのは予想できるでしょう。
2006‐625×3＝131
131‐125×1＝6なので、125ｇのおもりは1個使っています。
6‐5×1＝1なので、5ｇのおもりを1個、1ｇのおもりを1個使っています。
よって、2006ｇのおもさをはかるには、625ｇのおもりを3個、125ｇのおもりを1個、5ｇのおもりを1個、1ｇのおもりを1個使います。
（1）参考に、625ｇのおもりを1個も使わないときは、4×4×4×4-1＝255通りのおもさをはかれます。
625ｇのおもりを1個使うときは、4×4×4×4＝256通りのおもさをはかれます。
625ｇのおもりを2個使うときは、4×4×4×4＝256通りのおもさをはかれます。
625ｇのおもりを3個使い、125ｇのおもりを1個も使わないときには、4×4×4＝64通りのおもさをはかれます。
つまり、ここまでで、255＋256＋256＋64＝831通りのおもさをはかれます。
よって、625ｇを3個、125ｇを1個、25ｇを0個、5ｇを0個、1ｇを0個使ったおもさは832番目に軽いおもさです。
625ｇを3個、125ｇを1個、25ｇを0個、5ｇを0個、1ｇを1個使ったおもさは833番目に軽いおもさです。
625ｇを3個、125ｇを1個、25ｇを0個、5ｇを0個、1ｇを2個使ったおもさは834番目に軽いおもさです。
625ｇを3個、125ｇを1個、25ｇを0個、5ｇを0個、1ｇを3個使ったおもさは835番目に軽いおもさです。
625ｇを3個、125ｇを1個、25ｇを0個、5ｇを1個、1ｇを0個使ったおもさは836番目に軽いおもさです。
625ｇを3個、125ｇを1個、25ｇを0個、5ｇを1個、1ｇを1個使ったおもさは837番目に軽いおもさです。
よって、2006ｇのおもさをはかるには、625ｇのおもりを3個、125ｇのおもりを1個、5ｇのおもりを1個、1ｇのおもりを1個使うので、答えは837番目です。