三角形PAQとCPSに注目してみましょう。
すると、三角形PAQとCPSは相似であり、PA：AQ=CS：PSとなるので、
PQ×PS=AQ×CS＝８×CS……＜1＞
次に、三角形PBQとDPSに注目してみましょう。
すると、三角形PBQとDPSは相似であり、PQ：BQ=DS：PSとなるので、
PQ×PS=BQ×DS=5×DS……＜2＞
＜1＞と＜2＞から、8×CS=5×DS
これは、CS：DS=5：8ということなので、
SC：CD=CS：（DS-CS）=5：（8-5）=5：3

　　

（１）について整理して考えてみましょう。
＜1＞より、PQ×PS=AQ×CS、＜2＞より、PQ×PS=BQ×DSなので、
AQ×CS=BQ×DSとなり、
AQ：DS=BQ：CSとなります。
よって、SC：CD=SC：（DS−CS）＝BQ：（AQ−BQ）＝BQ：ABとなるので、
（１） の結果は、AB：BQ＝DC：CSということになります。
そこで、下の図3に（1）の結果を利用すると、

　　

AC：CQ=FD：DSつまり、
9：CQ=6:DSより、
CQ:DS=3:2……＜3＞
とわかります。
下の図4に（1）の結果を利用すると、

　　

BC:CQ=FE:ESつまり、
4:CQ=4:ESより、
CQ=ES……＜4＞
とわかります。
＜3＞、＜4＞とES=ED+DS=2cm+DSとから、
下のような線分図が書けます。

　　

これから、1（←□で囲む）=2cmとわかるので、答えは
CQ=6cm、SD=4cmです。