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3月11日/ハイレベル問題
【ギブアップ用解説】

(1)
1
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1
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n
以上なので、 1
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1
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n
よりも、 1
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1
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2
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のほうが大きくなります。
つまり、 2
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1
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3
よりも大きいことになり、 1
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1
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6
以上の値をとることになります。
<1>答えは、 1
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3
÷2= 1
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6
1
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m
1
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6
以上のとき、mは6以下です。
また、 1
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m
1
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n
1
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3
なので、 1
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m
1
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3
よりも小さいことになり、
mは4以上であると分かります。 よって、<2>の答えは4、<3>の答えは6となります。
m=4のとき、 1
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n
1
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3
1
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4
1
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12
より、n=12
m=5のとき、 1
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n
1
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3
1
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5
2
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15
より
m=6のとき、 1
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n
1
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3
1
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6
1
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6
より、n=6
なので、<4>の答えは12、<5>の答えは6となります。

(2)
(1)を参考にして考えるので、まずはmがn以下であると考えましょう。
mがn以下であるとすると、 1
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m
1
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n
以上になるので、
(1) と同様に考えて、 1
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m
1
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n
よりも、 2
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m
のほうが大きくなります。
つまり、 2
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m
1
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5
よりも大きいことになり、 1
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m
1
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10
以上の値をとることになるので、mは10以下であると分かります。
また、 1
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m
1
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n
1
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5
なので、 1
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m
1
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5
よりも小さいことになり、
mは6以上であると分かります。
よって、6以上10以下のmに対して、nが整数になるかどうかを調べればよいことになります。
<1>m=6のとき、 1
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n
1
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5
1
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6
1
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30
より、n=30
<2>m=7のとき、 1
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n
1
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5
1
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7
2
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35
<3>m=8のとき、 1
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n
1
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5
1
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8
3
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40
<4>m=9のとき、 1
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n
1
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5
1
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9
4
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45
<5>m=10のとき、 1
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n
1
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5
1
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10
1
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10
より、n=10
以上から、mがnより大きい場合も合わせて、答えは、
(m、n)=(<6><30>)、(<10><10>)、(<30><6>)の3組。

(3)
まず、mがn以下として考えてみましょう。
1
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m
1
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n
の値が 1
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5
よりも小さいので、m、nはそれぞれ6以上です。
それでは、 1
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m
1
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n
の値が 1
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5
よりも小さいものを、
mが6〜10のときについて、大きい方から書き出すと、
(2) を参考にして、
<1> 1
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6
1
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31
37
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186
=0.1989…、
1
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6
1
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32
19
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96
=0.1979…、
1
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6
1
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33
1
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66
=0.1969…、
<2> 1
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7
1
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18
25
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126
=0.1984…、
1
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7
1
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19
26
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133
=0.1954…
<3> 1
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8
1
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14
11
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56
=0.1964…、
<4> 1
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9
1
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12
7
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36
=0.1944…、
<5> 1
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10
1
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11
21
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110
=0.1909…
となります。
そして、mが11以上のときは、nも11以上となるので、どう計算しても、これらの値よりも小さくなります。
また、mがn以上のときは、上の計算のmとnの数字を入れ替えるだけなので、結果は変わりません。
よって、答えは、 37
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186
 、 25
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126
 、 19
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96

学習のポイント
この問題のポイントは、まず(1)、(2)では、mがどんな数字になる可能性があるのかを考えることです。そして、その数字が分かれば、それぞれを実際に計算してみて、正解を探せば良いのです。
実は、この問題と似たような問題は、東大の入試問題でも出たことがあります。
この問題が解けた人は、大いに自信を持ってください。
そして、もう一つ大事なポイントは、mがn以下だとして計算しても、mがn以上だと計算しても、正解のmとnの数の組み合わせは変わらないということです。
例えば(1)では、m=4、n=12でも、m=12、n=4でも、計算したら、 1
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3
となります。
数の組み合わせさえ分かれば、正解は簡単に出せるので、まずは、mがn以下だとして計算して、数の組み合わせを求めることが大事なんですよ。 この考え方は、大学入試でも大いに役立つので、ぜひ覚えておいてくださいね。

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