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3月1日／ハイレベル問題
【解答・解説】
（1）
□＋2
□＋62
＝
3
7
になるとき、分母と分子の関係を線分図に表すと、下のようになります。
この図から、＜1＞＝60÷4＝15とわかるので、 □＝15×3-2＝43
□＋2
□＋62
＝
4
7
になるときも同じように考えて、
＜1＞＝60÷（7-4）＝20より、□＝20×4-2＝78
よって答えは、43から78までの整数の個数を求めて、
78-（43-1）＝36（通り）
（2）
□＋2
□＋62
＝
3
11
になるときは、同じようにして
＜1＞＝60÷（11-3）＝7.5より、□＝7.5×3-2＝20.5
□＋2
□＋62
＝
3
8
になるときも同様に、
＜1＞＝60÷（8-3）＝12より、□＝12×3-2＝34
ここで、（1）より、□に入る数が大きくなるほど分数の値も大きくなり、
□に入る数が小さくなるほど分数の値も小さくなることがわかるので、
3
11
より大きくなるのは、□が20.5より大きいとき
3
8
より小さくなるのは、□が34未満のときであることがわかります。
以上から、答えは、21以上33以下の整数の個数を求めて、
33-（21-1）＝13（通り
（3）
約分して
□＋2
□＋62
＝
1
n
になったとすると、下の図から、
（n-1）が60の約数であることがわかります。
ただし、＜1＞が3以上なので、60の約数のうちで、20以下が条件に合います。
60を素因数分解すると、60＝2×2×3×5なので、60の約数は
（2＋1）×（1＋1）×（1＋1）＝12（個）
あります。このうちで、20より大きい60の約数は30と60の2個なので、
答えは、12-2＝10（通り
（4）
約分できなくなるまで約分して
□＋2
□＋62
＝
2
m
（mは奇数）になったとすると、
（m-2）が60の約数です。ただし、（m-2）は奇数なので、20以下の奇数でなければいけません。
60の約数のうちで奇数は、1、3、5、15の4個で、どれも20以下なので条件に合います。 よって、答えは、4通りです。
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