まずは、問題文にしたがって○、△、×を書いていけば良いです。
すると、答えは図のようになります。

（2）

選んだ3本を3辺とする三角形が作れるのは、a+bがcより大きいとき、つまり、○のときです。
ここで、c＝８のとき、△は３つありますが、○と×はそれぞれ９つずつあり、○と×の数は同じです。
また、c＝３のときは○も×もなく△が１つあります。



c＝４のとき、○も△も×も１つずつあります。



c＝５のとき、△は２つありますが、○と×はそれぞれ２つずつあり、○と△は同数あります。



このように、他の表を作ってみても、cがどの値をとっても、○と×が同じ数ずつあることがわかります。
ちなみに、c＝１、c＝２のときは、aとbを選ぶことが出来ないので、表を作ることが出来ません。
では、残った表を作成してみましょう。
c＝６のとき、△が２つあり、○と×が同数あることが分かりますね。
c＝７のとき、△が３つあり、○と×が同数あることが分かりますね。
c＝９のとき、△が４つあり、○と×が同数あることが分かりますね。
よって、△となるのは、c＝８のときも含めて、全部で、１＋１＋２＋２＋３＋３＋４＝１６（通り）となります。

よって、棒の選び方は８４通りあるので、○と×を合わせた数は、８４-１６＝６８（通り）となります。 ○ の数はそれの半分なので、６８÷２＝３４（通り）

よって、答えは３４（通り）です。