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12月21日／ハイレベル問題
【解答・解説】
（１）
下図のように点Xを通る各辺に平行な線を引き、交差に記号をつけると、
AB=FB+HF+AH…………＜3＞
であることがわかります。
ここで、四角形FBDXとAHXEは平行四辺形ですから、FB=XD、AH=EXより、＜3＞は、
AB=XD+EX+HF=a+EX+HF
となります。さらに、
三角形EXGとABCは相似形で、
EX:XG=AB:BCより、
EX=XG×
AB
BC
=a×
AB
BC
三角形HFXとABCは相似形で、
HF:HX=AB:ACより、
HF=HX×
AB
AC
=c×
AB
CA
以上から、AB=a+b×
AB
BC
+c×
AB
CA
…………＜4＞
とわかります。いま、a=12、b=54、c=6なので、
答えは、AB=12+54×
AB
BC
+c×
AB
CA
…………＜5＞
（2）
＜2＞の条件のときは、a=20、b=18、c=30なので、＜4＞から、
AB=20+18×
AB
BC
+30×
AB
CA
…………＜6＞
が得られます。ここで、AB=80cmなので、＜5＞、＜6＞はそれぞれ、
54×
AB
BC
＋6×
AB
CA
＝80−12＝68
18×
AB
BC
＋30×
AB
CA
＝80−20＝60
となります。上の2つの式を簡単にすると、
27×
AB
BC
＋3×
AB
CA
＝34…………＜7＞
18×
AB
BC
+30×
AB
CA
＝60…………＜8＞
＜7＞を10倍すると、＜8＞と
AB
CA
がそろうので、
AB
BC
=（34×10-60）÷（27×10-18）＝
10
9
すると、＜7＞から、
AB
CA
=（34-27×
10
9
）÷3＝
4
3
（3）
答えは、
BC=80÷
10
9
＝72（cm）、CA=80÷
4
3
＝60（cm）
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