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（１）
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それぞれの図形の面積を比較するために、図を一つにまとめてみましょう。
ア、イ、カ、キのときの図をまとめて１つの図に表すと図の様になります。
ここで、三角形AGFとDJFの面積の和と三角形HBEとICEの面積の和について考えます。
図の様に辺ABと平行な線をそれぞれF、Eから引き、辺AD,BCとの交点をP、Qとします。
AGとPFは平行なので、三角形AGPとAGFの面積は等しくなります。
また、PFとDJは平行なので、三角形DJPとDJFの面積は等しくなります。
ここで、AGとDJは共にひもの長さなので、AG=DJです。
よって、三角形AGFとDJFの面積の和＝三角形AGP+三角形DJP＝AG×AD÷２となります。
同じ様にすると、三角形HBEとICEの面積の和＝三角形HBQ+三角形ICQ＝HB×BC÷２となります。
ここで、AGとHBはともにひもの長さなので、AG=HB
さらにAD=BCなので、AG×AD÷２＝HB×BC÷２となり、
三角形AGFとDJFの面積の和と三角形HBEとICEの面積の和は等しくなります。
また、太線の四角形AFDEとBECFの面積について考えます。
図の様に、点E,FからADと平行な線を引き、辺DCとの交点をそれぞれR、Sとします。
すると、三角形AEDとARDの面積は等しく、三角形AFDとASDの面積も等しくなります。
よって、四角形AFDEの面積＝三角形AFD-三角形AED＝三角形ASD-三角形ARD=三角形ARSとなります。
同じ様にすると、面積は四角形BECF=三角形BRSとなります。
ここで、三角形ARSとBRSの面積は等しいので、四角形AFDEとBECFの面積は等しくなります。
よって、四角形EFDJの面積＝六角形AGFJDE-四角形AGFE=四角形AFDE+三角形AGF+三角形DJF-四角形AGFE＝四角形BECF+三角形BHE+三角形CIE-四角形AGFE＝四角形BHFE+四角形CIEF-四角形AGFEとなります。
よって、求める面積は、
１２７．５＋１３２．５-１７２．５＝８７．５（㎠）
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（２）
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ク、ケ、コのとき、ウ、エ、オのときをそれぞれまとめて１つの図に表すと、右図の様になります。
これらの図で、網目部分の面積はそれぞれ、クとコのとき、ウとオのときの面積の和です。
ここで、AK、LM、ND、BS、TU、VCは全てひもの長さであり、等しいので、三角形AFK、LFM、NFDは全て面積が等しく３０㎠であり、同様に三角形EBS、ETU、EVCも全て面積が等しく４０㎠です。
クとコのときの面積の和は、
三角形AFK＋四角形KFNE＋三角形NFD＝四角形KFNE＋三角形LFM×2＝四角形KFNE＋60（㎠）
ウとオのときの面積の和は、
三角形EBS＋四角形ESFV＋三角形EVC＝四角形ESFV＋三角形ETU×2＝四角形ESFV＋80（㎠）
また、ここで（１）と同じ様にすると、四角形KFNEとESFVの面積は等しくなるので、ク＋コ＝ウ+オ-２０となります。
よって、コ＝ウ+オ-ケ-２０となるので、求める面積は、
８０＋１２０-５０-２０＝１３０（㎠）
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（３）
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アのときとイのときの三角形の面積の差
図で網目部分の三角形の面積は等しいので、三角形GFEとBFEとの面積の差は、四角形AGFEとHBFEの面積の差に等しくなります。
よって、１７２．５-１２７．５＝４５（㎠）・・・・・・（☆）
コのときとウのときの三角形の面積の差
エのときはケのときよりも10㎠大きいので、下図の斜線部分の面積も網目部分の面積よりも10㎠大きくなります。よって、求める面積の差は、
130-（80-10）＝60（㎠）………………………（★）
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（4）
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EFを底辺と見ると、（3）の（☆）と（★）はそれぞれ、
EF×BX÷2、
EF×BY÷2
で求められることになります。
よって、BX：BY＝45：60＝3：4
となるので、相似形を利用して、
AB：GB＝BY：BX＝4：3
とわかります。したがって答えは、
AB：PQ＝AB：AG＝4：（4-3）＝4：1
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