10月21日／ハイレベル問題
【ギブアップ用解説】
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（１）
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日本、中国、韓国の参加人数をそれぞれＪ，Ｃ，Ｋ，ファイナリストの合計人数をＦとして、考えられる状況を線分図に表すと、下の図のようになります。
ここで、日本、中国、韓国の小学生が合わせて１００人参加しているので、Ｊ，Ｃ，Ｋの合計は１００、つまり、Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝１００となります。
そして、それぞれの場合を考えていきます。
① のとき、
Ｊ＝Ｆ＋８，Ｃ＝Ｆ＋５，Ｋ＝Ｆ＋７なので、
Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝（Ｆ＋８）＋（Ｆ＋５）＋（Ｆ＋７）＝Ｆ×３＋２０
つまり、Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝１００＝Ｆ×３＋２０
Ｆ×３＝８０ Ｆ＝８０／３
② のとき、
Ｊ＝Ｆ＋８，Ｃ＝Ｆ＋５，Ｋ＝Ｆ−７なので、
Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝（Ｆ＋８）＋（Ｆ＋５）＋（Ｆ−７）＝Ｆ×３＋６
つまり、Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝１００＝Ｆ×３＋６
Ｆ×３＝９４ Ｆ＝９４／３
③ のとき、
Ｊ＝Ｆ＋８，Ｃ＝Ｆ−５，Ｋ＝Ｆ＋７なので、
Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝（Ｆ＋８）＋（Ｆ−５）＋（Ｆ＋７）＝Ｆ×３＋１０
つまり、Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝１００＝Ｆ×３＋１０
Ｆ×３＝９０ Ｆ＝３０
④ のとき、
Ｊ＝Ｆ＋８，Ｃ＝Ｆ−５，Ｋ＝Ｆ−７なので、
Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝（Ｆ＋８）＋（Ｆ−５）＋（Ｆ−７）＝Ｆ×３−４
つまり、Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝１００＝Ｆ×３−４
Ｆ×３＝１０４ Ｆ＝１０４／３
⑤ のとき、
Ｊ＝Ｆ−８，Ｃ＝Ｆ＋５，Ｋ＝Ｆ＋７なので、
Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝（Ｆ−８）＋（Ｆ＋５）＋（Ｆ＋７）＝Ｆ×３＋４
つまり、Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝１００＝Ｆ×３＋４
Ｆ×３＝９６ Ｆ＝３２
⑥ のとき、
Ｊ＝Ｆ−８，Ｃ＝Ｆ−５，Ｋ＝Ｆ＋７なので、
Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝（Ｆ−８）＋（Ｆ−５）＋（Ｆ＋７）＝Ｆ×３−６
つまり、Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝１００＝Ｆ×３−６
Ｆ×３＝１０６ Ｆ＝１０６／３
⑦ のとき、
Ｊ＝Ｆ−８，Ｃ＝Ｆ＋５，Ｋ＝Ｆ−７なので、
Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝（Ｆ−８）＋（Ｆ＋５）＋（Ｆ−７）＝Ｆ×３−１０
つまり、Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝１００＝Ｆ×３−１０
Ｆ×３＝１１０ Ｆ＝１１０／３
⑧ のとき、
Ｊ＝Ｆ−８，Ｃ＝Ｆ−５，Ｋ＝Ｆ−７なので、
Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝（Ｆ−８）＋（Ｆ−５）＋（Ｆ−７）＝Ｆ×３−２０
つまり、Ｊ＋Ｃ＋Ｋ＝１００＝Ｆ×３−２０
Ｆ×３＝１２０ Ｆ＝４０
以上の様になります。
Ｆはファイナリストの人数なので、整数です。
Ｆの数が整数となっているのは、③のときの３０人、⑤のときの３２人、
⑨ のときの４０人の３通りです。
よって、答えは、３０人、３２人、４０人。
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（２）
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ファイナリストが一番多い国のファイナリストの人数をＸ，二番目に多い国のファイナリストの人数をＹ，一番少ない国のファイナリストの人数をＺとします。
問題文の条件を図に表すと、下の図の様になる。
図より、Ｘ＝Ｚ＋３＋２＝Ｚ＋５、Ｙ＝Ｚ＋３となります。
よって、Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝（Ｚ＋５）＋（Ｚ＋３）＋Ｚ＝Ｚ×３＋８
また、Ｘ＋Ｙ＋Ｚはファイナリストの合計の人数です。
つまり、（１）より、
③のとき、
Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝３０＝Ｚ×３＋８
Ｚ×３＝２２ Ｚ＝２２／３
⑤のとき、
Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝３２＝Ｚ×３＋８
Ｚ×３＝２４ Ｚ＝８
⑧のとき、
Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝４０＝Ｚ×３＋８
Ｚ×３＝３２ Ｚ＝３２／３
Ｚは人数なので、整数。
よって、条件を満たすのは⑤のとき。
⑤の図より、一番参加者が多いのは韓国であり、その人数はＦ＋７＝３２＋７＝３９
答えは、韓国で３９人。
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（３）
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（２）のときなので、⑤のときである。
日本人の参加者はＪ＝Ｆ−８＝３２−８＝２４
中国人の参加者はＣ＝Ｆ＋５＝３２＋５＝３７
韓国人の参加者は（２）より、 ３９
また、ファイナリストの人数について、Ｚ＝８なので、
Ｘ＝Ｚ＋５＝８＋５＝１３、Ｙ＝Ｚ＋３＝８＋３＝１１
つまり、ファイナリストの国別の人数は、８人、１１人、１３人。
ここで、決勝への進出率＝ファイナリストの人数÷参加者×１００なので、各国のファイナリストと参加者の人数の比が近いほど、国別の決勝への進出率の差は小さくなります。
つまり、参加者が多い国ほどファイナリストの数が多く、参加者が少ない国ほどファイナリストの数が少ないときに、決勝への進出率の差が小さくなります。
（例えば、ファイナリストの数が２人と３人で、Ａ国の参加者が５人、Ｂ国の参加者が７人のときで、Ａ国のファイナリストが２人、Ｂ国のファイナリストが３人のとき、Ａ国の決勝進出率＝４０％、Ｂ国の決勝進出率＝４２．９％と差は小さいですが、Ａ国のファイナリストが３人、Ｂ国のファイナリストが２人のとき、Ａ国の決勝進出率＝６０％、Ｂ国の決勝進出率＝２８．６％と差は大きくなります。）
よって、ファイナリストの国別の人数が、日本が８人、中国人が１１人、韓国人が１３人のときが、最も決勝への進出率の差が小さいときだと考えられます。
このとき、それぞれの進出率は、
日本は、８÷２４×１００＝３３．３％
中国は、１１÷３７×１００＝２９．７％
韓国は、１３÷３９×１００＝３３．３％
となり、進出率の差は５％以内です。
また、これ以外のときは、計算すると、一番高い進出率と一番低い進出率の差は５％以上となってしまいます。
よって答えは、
ファイナリストの人数が、日本が８人、中国人が１１人、韓国人が１３人。
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この問題を解くには、各国の参加者の人数をＪやＣなどとおいて、式を作ること、そして、考えられる様々な場合に分けて、それぞれを計算して、問題文の条件を満たす答えを求めること、これら２つのことが重要となります。
特に、難しい問題を解くときには、きちんと場合分けをすることが必要となることが多いので、場合分けはしっかりと定着させる必要があります。
場合分けが苦手な人は、とにかくしっかりと紙の上に色んな場合を書き出して、場合分けをする習慣を付けることから始めましょう。
場合分けがきちんと出来る様になれば、あなたの算数の力はかなりアップするはずです。
なので、場合分けをする習慣をきちんと付けましょう！！
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